ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqadd12d GIF version

Theorem modqadd12d 9451
Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqadd12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqadd12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqadd12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
modqadd12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqadd12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
modqadd12d.egt0 (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqadd12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqadd12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modqadd12d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqadd12d
StepHypRef Expression
1 modqadd12d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
2 modqadd12d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
3 modqadd12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
4 modqadd12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
5 modqadd12d.egt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐸)
6 modqadd12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
71, 2, 3, 4, 5, 6modqadd1 9432 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
8 qcn 8789 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
92, 8syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10 qcn 8789 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
113, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
129, 11addcomd 7315 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
1312oveq1d 5552 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸))
14 modqadd12d.4 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
15 modqadd12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
163, 14, 2, 4, 5, 15modqadd1 9432 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
17 qcn 8789 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
1814, 17syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1918, 9addcomd 7315 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐷))
2019oveq1d 5552 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
2113, 16, 203eqtrd 2118 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
227, 21eqtrd 2114 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  cc 7030  0cc0 7032   + caddc 7035   < clt 7204  cq 8774   mod cmo 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394
This theorem is referenced by:  modqsub12d  9452
  Copyright terms: Public domain W3C validator