ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqdiffl GIF version

Theorem modqdiffl 9494
Description: The modulo operation differs from 𝐴 by an integer multiple of 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqdiffl ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem modqdiffl
StepHypRef Expression
1 modqval 9483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
21oveq2d 5581 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))))
3 qcn 8877 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 960 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 qcn 8877 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
653ad2ant2 961 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 simp3 941 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
87gt0ne0d 7757 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
9 qdivcl 8886 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
108, 9syld3an3 1215 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
1110flqcld 9436 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
1211zcnd 8628 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
136, 12mulcld 7278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
144, 13nncand 7568 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 − (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
152, 14eqtrd 2115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
1615oveq1d 5580 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) / 𝐵))
17 qre 8868 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
18173ad2ant2 961 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918, 7gt0ap0d 7872 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
2012, 6, 19divcanap3d 8026 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
2116, 20eqtrd 2115 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3806  cfv 4953  (class class class)co 5565  cc 7118  cr 7119  0cc0 7120   · cmul 7125   < clt 7292  cmin 7423   / cdiv 7904  cq 8862  cfl 9427   mod cmo 9481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-q 8863  df-rp 8893  df-fl 9429  df-mod 9482
This theorem is referenced by:  modqdifz  9495  modqmuladdnn0  9527
  Copyright terms: Public domain W3C validator