ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmulnn GIF version

Theorem modqmulnn 10083
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Proof of Theorem modqmulnn
StepHypRef Expression
1 nnq 9393 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
213ad2ant1 987 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
3 flqcl 10014 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
4 zq 9386 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
653ad2ant2 988 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
7 qmulcl 9397 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
82, 6, 7syl2anc 408 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
9 qre 9385 . . . 4 ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
108, 9syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
11 simp2 967 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
12 qmulcl 9397 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
132, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
1413flqcld 10018 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
1514zred 9141 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
16 nnmulcl 8709 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
17 nnq 9393 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
1816, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
19183adant2 985 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
20 qre 9385 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
2119, 20syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
22 simp1 966 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2322nncnd 8702 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 simp3 968 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
2524nncnd 8702 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2622nnap0d 8734 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
2724nnap0d 8734 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 # 0)
2823, 25, 26, 27mulap0d 8387 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) # 0)
29 0z 9033 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
30 zq 9386 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℚ
32 qapne 9399 . . . . . . . . 9 (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑁 · 𝑀) # 0 ↔ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0))
3319, 31, 32sylancl 409 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) # 0 ↔ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0))
3428, 33mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
35 qdivcl 9403 . . . . . . 7 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℚ)
368, 19, 34, 35syl3anc 1201 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℚ)
3736flqcld 10018 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℤ)
3837zred 9141 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
3921, 38remulcld 7764 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
40 nnnn0 8952 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
41 flqmulnn0 10040 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4240, 41sylan 281 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4322, 11, 42syl2anc 408 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4410, 15, 39, 43lesub1dd 8291 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
4522nnred 8701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4624nnred 8701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4722nngt0d 8732 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
4824nngt0d 8732 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
4945, 46, 47, 48mulgt0d 7853 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 · 𝑀))
50 modqval 10065 . . 3 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑁 · 𝑀)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
518, 19, 49, 50syl3anc 1201 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
52 zq 9386 . . . . 5 ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ)
5314, 52syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ)
54 modqval 10065 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑁 · 𝑀)) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
5553, 19, 49, 54syl3anc 1201 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
56163adant2 985 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
57 flqdiv 10062 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
5813, 56, 57syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
59 flqdiv 10062 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
60593adant1 984 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
613zcnd 9142 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
6211, 61syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
6362, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8545 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
6463fveq2d 5393 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
65 qcn 9394 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
6611, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6766, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8545 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
6867fveq2d 5393 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
6960, 64, 683eqtr4rd 2161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
7058, 69eqtrd 2150 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
7170oveq2d 5758 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
7271oveq2d 5758 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
7355, 72eqtrd 2150 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
7444, 51, 733brtr4d 3930 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022  cq 9379  cfl 10009   mod cmo 10063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011  df-mod 10064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator