ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmulnn GIF version

Theorem modqmulnn 9291
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))

Proof of Theorem modqmulnn
StepHypRef Expression
1 nnq 8664 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
213ad2ant1 936 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
3 flqcl 9224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
4 zq 8657 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
653ad2ant2 937 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
7 qmulcl 8668 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
82, 6, 7syl2anc 397 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
9 qre 8656 . . . 4 ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
108, 9syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
11 simp2 916 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
12 qmulcl 8668 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
132, 11, 12syl2anc 397 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ)
1413flqcld 9226 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
1514zred 8418 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℝ)
16 nnmulcl 8010 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
17 nnq 8664 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
1816, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
19183adant2 934 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ)
20 qre 8656 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
2119, 20syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
22 simp1 915 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2322nncnd 8003 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 simp3 917 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
2524nncnd 8003 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2622nnap0d 8034 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
2724nnap0d 8034 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 # 0)
2823, 25, 26, 27mulap0d 7712 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) # 0)
29 0z 8312 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
30 zq 8657 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℚ
32 qapne 8670 . . . . . . . . 9 (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → ((𝑁 · 𝑀) # 0 ↔ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0))
3319, 31, 32sylancl 398 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) # 0 ↔ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0))
3428, 33mpbid 139 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ≠ 0)
35 qdivcl 8674 . . . . . . 7 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ≠ 0) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℚ)
368, 19, 34, 35syl3anc 1146 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) ∈ ℚ)
3736flqcld 9226 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℤ)
3837zred 8418 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) ∈ ℝ)
3921, 38remulcld 7114 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) ∈ ℝ)
40 nnnn0 8245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
41 flqmulnn0 9248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4240, 41sylan 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4322, 11, 42syl2anc 397 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘𝐴)) ≤ (⌊‘(𝑁 · 𝐴)))
4410, 15, 39, 43lesub1dd 7625 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
4522nnred 8002 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4624nnred 8002 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4722nngt0d 8032 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
4824nngt0d 8032 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
4945, 46, 47, 48mulgt0d 7197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 · 𝑀))
50 modqval 9273 . . 3 (((𝑁 · (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑁 · 𝑀)) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
518, 19, 49, 50syl3anc 1146 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
52 zq 8657 . . . . 5 ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ)
5314, 52syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ)
54 modqval 9273 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑁 · 𝑀)) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
5553, 19, 49, 54syl3anc 1146 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
56163adant2 934 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ)
57 flqdiv 9270 . . . . . . 7 (((𝑁 · 𝐴) ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
5813, 56, 57syl2anc 397 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))))
59 flqdiv 9270 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
60593adant1 933 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
613zcnd 8419 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
6211, 61syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
6362, 25, 23, 27, 26divcanap5d 7865 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘𝐴) / 𝑀))
6463fveq2d 5209 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑀)))
65 qcn 8665 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
6611, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6766, 25, 23, 27, 26divcanap5d 7865 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀)) = (𝐴 / 𝑀))
6867fveq2d 5209 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
6960, 64, 683eqtr4rd 2099 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑁 · 𝐴) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
7058, 69eqtrd 2088 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))) = (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))
7170oveq2d 5555 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))) = ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀)))))
7271oveq2d 5555 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
7355, 72eqtrd 2088 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) = ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) − ((𝑁 · 𝑀) · (⌊‘((𝑁 · (⌊‘𝐴)) / (𝑁 · 𝑀))))))
7444, 51, 733brtr4d 3821 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)) ≤ ((⌊‘(𝑁 · 𝐴)) mod (𝑁 · 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  0cc0 6946   · cmul 6951   < clt 7118  cle 7119  cmin 7244   # cap 7645   / cdiv 7724  cn 7989  0cn0 8238  cz 8301  cq 8650  cfl 9219   mod cmo 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-q 8651  df-rp 8681  df-fl 9221  df-mod 9272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator