ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modremain GIF version

Theorem modremain 10536
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2085 . 2 ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2 divalgmodcl 10535 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
323adant3r 1167 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
4 ibar 295 . . . . 5 (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
54adantl 271 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
653ad2ant3 962 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
7 nnz 8503 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
873ad2ant2 961 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9 simp1 939 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 nn0z 8504 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
1110adantr 270 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12113ad2ant3 962 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
139, 12zsubcld 8607 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
14 divides 10405 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
158, 13, 14syl2anc 403 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
16 eqcom 2085 . . . . . 6 ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ (𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17 zcn 8489 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18173ad2ant1 960 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1918adantr 270 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 nn0cn 8417 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℂ)
2120adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22213ad2ant3 962 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2322adantr 270 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24 simpr 108 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
258adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2624, 25zmulcld 8608 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
2726zcnd 8603 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
2819, 23, 27subadd2d 7557 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
2916, 28syl5bb 190 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3029rexbidva 2370 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3115, 30bitrd 186 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
323, 6, 313bitr2d 214 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
331, 32syl5bb 190 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267  cmin 7398  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484   mod cmo 9456  cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  10592  bezoutlemstep  10593
  Copyright terms: Public domain W3C validator