Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modsumfzodifsn GIF version

Theorem modsumfzodifsn 9346
 Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9106 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
21adantl 266 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 zq 8658 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℚ)
5 elfzo0 9140 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
65biimpi 117 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
76adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
87simp1d 927 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
98nn0zd 8417 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
10 zq 8658 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
119, 10syl 14 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℚ)
12 qaddcl 8667 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
134, 11, 12syl2anc 397 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
1413adantr 265 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
157simp2d 928 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 nnq 8665 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
1715, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
1817adantr 265 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
19 elfzo1 9148 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2019biimpi 117 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2120adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2221simp1d 927 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 8292 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2423, 8nn0addcld 8296 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 8295 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
2625adantr 265 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
27 simpr 107 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
28 modqid 9299 . . . 4 ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
2914, 18, 26, 27, 28syl22anc 1147 . . 3 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
3024adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
3115adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 elfzo0 9140 . . . . 5 ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
3330, 31, 27, 32syl3anbrc 1099 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
342zcnd 8420 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
35 0cnd 7078 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
368nn0cnd 8294 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
3722nnne0d 8034 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
3834, 35, 36, 37addneintr2d 7263 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
3936addid2d 7224 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
4038, 39neeqtrd 2248 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
4140adantr 265 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
42 eldifsn 3523 . . . 4 ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
4333, 41, 42sylanbrc 402 . . 3 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
4429, 43eqeltrd 2130 . 2 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
4515nncnd 8004 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4645adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4746mulm1d 7479 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
4847oveq2d 5556 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
4934, 36addcld 7104 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
5049, 45negsubd 7391 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
5150adantr 265 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
5248, 51eqtrd 2088 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
5352oveq1d 5555 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
5413adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ)
55 neg1z 8334 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
5655a1i 9 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → -1 ∈ ℤ)
5717adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℚ)
5815nngt0d 8033 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 < 𝑁)
5958adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 < 𝑁)
60 modqcyc 9309 . . . . 5 ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
6154, 56, 57, 59, 60syl22anc 1147 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
62 qsubcl 8670 . . . . . . 7 (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
6313, 17, 62syl2anc 397 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
6463adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ)
65 simpr 107 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
6615nnred 8003 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6766adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
6824nn0red 8293 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
6968adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
7067, 69lenltd 7193 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
7165, 70mpbird 160 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽))
7269, 67subge0d 7600 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
7371, 72mpbird 160 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
742zred 8419 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
758nn0red 8293 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
7621simp3d 929 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
777simp3d 929 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 < 𝑁)
7874, 75, 66, 66, 76, 77lt2addd 7632 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
7968, 66, 66ltsubaddd 7606 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
8078, 79mpbird 160 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
8180adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
82 modqid 9299 . . . . 5 (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
8364, 57, 73, 81, 82syl22anc 1147 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
8453, 61, 833eqtr3d 2096 . . 3 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
8524nn0zd 8417 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
8615nnzd 8418 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8785, 86zsubcld 8424 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
8887adantr 265 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
89 elnn0z 8315 . . . . . 6 (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
9088, 73, 89sylanbrc 402 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
9115adantr 265 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
92 elfzo0 9140 . . . . 5 (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
9390, 91, 81, 92syl3anbrc 1099 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9434, 45subcld 7385 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
9574, 76ltned 7190 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾𝑁)
9634, 45, 95subne0d 7394 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾𝑁) ≠ 0)
9794, 35, 36, 96addneintr2d 7263 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
9834, 36, 45addsubd 7406 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾𝑁) + 𝐽))
9939eqcomd 2061 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
10097, 98, 993netr4d 2253 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
101100adantr 265 . . . 4 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
102 eldifsn 3523 . . . 4 (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
10393, 101, 102sylanbrc 402 . . 3 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
10484, 103eqeltrd 2130 . 2 (((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) ∧ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
105 zdclt 8376 . . . 4 (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
106 exmiddc 755 . . . 4 (DECID (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
107105, 106syl 14 . . 3 (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
10885, 86, 107syl2anc 397 . 2 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∨ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
10944, 104, 108mpjaodan 722 1 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ∨ wo 639  DECID wdc 753   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   ≠ wne 2220   ∖ cdif 2942  {csn 3403   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  ℂcc 6945  ℝcr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119   ≤ cle 7120   − cmin 7245  -cneg 7246  ℕcn 7990  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302  ℚcq 8651  ..^cfzo 9101   mod cmo 9272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fz 8977  df-fzo 9102  df-fl 9222  df-mod 9273 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator