ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2ex GIF version

Theorem mpt2ex 5887
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1 𝐴 ∈ V
mpt2ex.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 mpt2ex.2 . . 3 𝐵 ∈ V
32rgenw 2423 . 2 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
4 eqid 2083 . . 3 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
54mpt2exxg 5884 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
61, 3, 5mp2an 417 1 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  wral 2353  Vcvv 2610  cmpt2 5565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator