ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2exg GIF version

Theorem mpt2exg 5865
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exg ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 2611 . . 3 (𝐵𝑆𝐵 ∈ V)
2 elex 2611 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
32ralrimivw 2436 . . 3 (𝐵 ∈ V → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
41, 3syl 14 . 2 (𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
5 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
65mpt2exxg 5864 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
74, 6sylan2 280 1 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2349  Vcvv 2602  cmpt2 5545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799
This theorem is referenced by:  mpt2exga  5866
  Copyright terms: Public domain W3C validator