ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mptexg GIF version

Theorem mptexg 5413
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 4965 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2056 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
32dmmptss 4844 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
4 ssexg 3923 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
53, 4mpan 408 . 2 (𝐴𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
6 funex 5411 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 399 1 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  Vcvv 2574  wss 2944  cmpt 3845  dom cdm 4372  Fun wfun 4923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937
This theorem is referenced by:  mptex  5414  offval  5746  abrexexg  5772  xpexgALT  5787  offval3  5788  iunon  5929  climmpt  10051
  Copyright terms: Public domain W3C validator