ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  msqznn GIF version

Theorem msqznn 8564
Description: The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
msqznn ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem msqznn
StepHypRef Expression
1 zmulcl 8521 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
21anidms 389 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
32adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ)
4 0z 8479 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 zapne 8539 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
64, 5mpan2 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
76pm5.32i 442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8 zre 8472 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9 apsqgt0 7804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
108, 9sylan 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
117, 10sylbir 133 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
12 elnnz 8478 . 2 ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐴)))
133, 11, 12sylanbrc 408 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564  cr 7078  0cc0 7079   · cmul 7084   < clt 7251   # cap 7784  cn 8142  cz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469
This theorem is referenced by:  qreccl  8844
  Copyright terms: Public domain W3C validator