ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2negi GIF version

Theorem mul2negi 7654
Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul2negi (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mul2negi
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mulneg.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 mul2neg 7646 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3mp2an 417 1 (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5565  cc 7118   · cmul 7125  -cneg 7424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-sub 7425  df-neg 7426
This theorem is referenced by:  neg1mulneg1e1  8387  i4  9751
  Copyright terms: Public domain W3C validator