ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulassnqg GIF version

Theorem mulassnqg 6540
Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulassnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 mulpipqqs 6529 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6529 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4 mulpipqqs 6529 . 2 ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5 mulpipqqs 6529 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
76ad2ant2r 486 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
98ad2ant2l 485 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
107, 9jca 294 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
1211ad2ant2r 486 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
13 mulclpi 6484 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1413ad2ant2l 485 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1512, 14jca 294 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
16 mulasspig 6488 . . . . 5 ((𝑥N𝑧N𝑣N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
17163adant1r 1139 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑧N𝑣N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
18173adant2r 1141 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑣N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
19183adant3r 1143 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
20 mulasspig 6488 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
21203adant1l 1138 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
22213adant2l 1140 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
23223adant3l 1142 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
241, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23ecoviass 6247 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5540  Ncnpi 6428   ·N cmi 6430   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   ·Q cmq 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-mqqs 6506
This theorem is referenced by:  recmulnqg  6547  halfnqq  6566  prarloclemarch  6574  ltrnqg  6576  addnqprl  6685  addnqpru  6686  appdivnq  6719  mulnqprl  6724  mulnqpru  6725  mullocprlem  6726  mulassprg  6737  1idprl  6746  1idpru  6747  recexprlem1ssl  6789  recexprlem1ssu  6790
  Copyright terms: Public domain W3C validator