Theorem mulassnqg 7185

Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem mulassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7149	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipqqs 7174	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7174	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		mulpipqqs 7174	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		mulpipqqs 7174	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨(𝑧 ·N 𝑣), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
7	6	ad2ant2r 500	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	8	ad2ant2l 499	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
10	7, 9	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12	11	ad2ant2r 500	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
13		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 499	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
15	12, 14	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
16		mulasspig 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
17	16	3adant1r 1209	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
18	17	3adant2r 1211	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
19	18	3adant3r 1213	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ·N 𝑣) = (𝑥 ·N (𝑧 ·N 𝑣)))
20		mulasspig 7133	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
21	20	3adant1l 1208	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
22	21	3adant2l 1210	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
23	22	3adant3l 1212	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 19, 23	ecoviass 6532	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 ·Q 𝐵) ·Q 𝐶) = (𝐴 ·Q (𝐵 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5767  Ncnpi 7073   ·_N cmi 7075   ~_Q ceq 7080  Qcnq 7081   ·_Q cmq 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-mqqs 7151

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7192  halfnqq  7211  prarloclemarch  7219  ltrnqg  7221  addnqprl  7330  addnqpru  7331  appdivnq  7364  mulnqprl  7369  mulnqpru  7370  mullocprlem  7371  mulassprg  7382  1idprl  7391  1idpru  7392  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435