ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq GIF version

Theorem mulcanenq 6540
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐴N)
2 simp2 916 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐵N)
3 simp3 917 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐶N)
4 mulcompig 6486 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
54adantl 266 . . 3 (((𝐴N𝐵N𝐶N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6 mulasspig 6487 . . . 4 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
76adantl 266 . . 3 (((𝐴N𝐵N𝐶N) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
81, 2, 3, 5, 7caov32d 5708 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵))
9 mulclpi 6483 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
10 mulclpi 6483 . . . . . 6 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
119, 10anim12i 325 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N))
12 simpr 107 . . . . . 6 (((𝐴N𝐴N) ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐵N𝐶N))
1312an4s 530 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (𝐵N𝐶N))
1411, 13jca 294 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)))
15143impdi 1201 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)))
16 enqbreq 6511 . . 3 ((((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
1715, 16syl 14 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
188, 17mpbird 160 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3405   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   ~Q ceq 6434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq 6502
This theorem is referenced by:  mulcanenqec  6541
  Copyright terms: Public domain W3C validator