Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec GIF version

Theorem mulcanenq0ec 6600
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·𝑜 𝐵), (𝐴 ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 6590 . . 3 ~Q0 Er (ω × N)
21a1i 9 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ~Q0 Er (ω × N))
3 pinn 6464 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
433ad2ant1 936 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐴 ∈ ω)
5 simp2 916 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐵 ∈ ω)
6 pinn 6464 . . . . 5 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
763ad2ant3 938 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐶 ∈ ω)
8 nnmcom 6098 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑦) = (𝑦 ·𝑜 𝑥))
98adantl 266 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·𝑜 𝑦) = (𝑦 ·𝑜 𝑥))
10 nnmass 6096 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·𝑜 𝑦) ·𝑜 𝑧) = (𝑥 ·𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
1110adantl 266 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑦) ·𝑜 𝑧) = (𝑥 ·𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5708 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐶) ·𝑜 𝐵))
13 nnmcl 6090 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
143, 13sylan 271 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
15 mulpiord 6472 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
16 mulclpi 6483 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
1715, 16eqeltrrd 2131 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∈ N)
1814, 17anim12i 325 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∈ N))
19 simpr 107 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐴N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2019an4s 530 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2118, 20jca 294 . . . . 5 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
22213impdi 1201 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
23 enq0breq 6591 . . . 4 ((((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (⟨(𝐴 ·𝑜 𝐵), (𝐴 ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐶) ·𝑜 𝐵)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (⟨(𝐴 ·𝑜 𝐵), (𝐴 ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐶) ·𝑜 𝐵)))
2512, 24mpbird 160 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ⟨(𝐴 ·𝑜 𝐵), (𝐴 ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩)
262, 25erthi 6182 1 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·𝑜 𝐵), (𝐴 ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ⟨cop 3405   class class class wbr 3791  ωcom 4340   × cxp 4370  (class class class)co 5539   ·𝑜 comu 6029   Er wer 6133  [cec 6134  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   ~Q0 ceq0 6441 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-ni 6459  df-mi 6461  df-enq0 6579 This theorem is referenced by:  nnanq0  6613  distrnq0  6614
 Copyright terms: Public domain W3C validator