Theorem mulcanpig 6673

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem mulcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 6655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2	1	adantr 270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
3		mulpiord 6655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
4	3	adantlr 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
5	2, 4	eqeq12d 2097	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
6		pinn 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
7		pinn 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
8		pinn 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
9		elni2 6652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
10	9	simprbi 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
11		nnmcan 6186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
12	11	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
13	10, 12	sylan2 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
14	13	ex 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
15	6, 7, 8, 14	syl3an 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
16	15	3exp 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
17	16	com4r 85	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
18	17	pm2.43i 48	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
19	18	imp31 252	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	5, 19	sylbid 148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3impa 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22		oveq2 5577	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶))
23	21, 22	impbid1 140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3268  ωcom 4362  (class class class)co 5569   ·_𝑜 comu 6089  Ncnpi 6610   ·_N cmi 6612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-iinf 4360

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4078  df-iord 4151  df-on 4153  df-suc 4156  df-iom 4363  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-irdg 6045  df-oadd 6095  df-omul 6096  df-ni 6642  df-mi 6644

This theorem is referenced by:  enqer  6696