ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclsr GIF version

Theorem mulclsr 7530
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7503 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5749 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
32eleq1d 2186 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4 oveq2 5750 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R 𝐵))
54eleq1d 2186 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6 mulsrpr 7522 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
7 mulclpr 7348 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
8 mulclpr 7348 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
9 addclpr 7313 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
107, 8, 9syl2an 287 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
1110an4s 562 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
12 mulclpr 7348 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
13 mulclpr 7348 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
14 addclpr 7313 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑤P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1615an42s 563 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1711, 16jca 304 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
18 opelxpi 4541 . . . . 5 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) → ⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P))
19 enrex 7513 . . . . . 6 ~R ∈ V
2019ecelqsi 6451 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2117, 18, 203syl 17 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
226, 21eqeltrd 2194 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 6485 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
2423, 1eleqtrrdi 2211 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  cop 3500   × cxp 4507  (class class class)co 5742  [cec 6395   / cqs 6396  Pcnp 7067   +P cpp 7069   ·P cmp 7070   ~R cer 7072  Rcnr 7073   ·R cmr 7078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-iplp 7244  df-imp 7245  df-enr 7502  df-nr 7503  df-mr 7505
This theorem is referenced by:  pn0sr  7547  negexsr  7548  caucvgsrlemoffval  7572  caucvgsrlemofff  7573  map2psrprg  7581  mulcnsr  7611  mulresr  7614  mulcnsrec  7619  axmulcl  7642  axmulrcl  7643  axmulcom  7647  axmulass  7649  axdistr  7650  axrnegex  7655
  Copyright terms: Public domain W3C validator