ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclsr GIF version

Theorem mulclsr 6837
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6810 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5519 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
32eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4 oveq2 5520 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R 𝐵))
54eleq1d 2106 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6 mulsrpr 6829 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
7 mulclpr 6668 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
8 mulclpr 6668 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
9 addclpr 6633 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
107, 8, 9syl2an 273 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
1110an4s 522 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
12 mulclpr 6668 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
13 mulclpr 6668 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
14 addclpr 6633 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1512, 13, 14syl2an 273 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑤P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1615an42s 523 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1711, 16jca 290 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
18 opelxpi 4376 . . . . 5 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) → ⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P))
19 enrex 6820 . . . . . 6 ~R ∈ V
2019ecelqsi 6160 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2117, 18, 203syl 17 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
226, 21eqeltrd 2114 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 6194 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
2423, 1syl6eleqr 2131 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   × cxp 4343  (class class class)co 5512  [cec 6104   / cqs 6105  Pcnp 6387   +P cpp 6389   ·P cmp 6390   ~R cer 6392  Rcnr 6393   ·R cmr 6398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-iplp 6564  df-imp 6565  df-enr 6809  df-nr 6810  df-mr 6812
This theorem is referenced by:  pn0sr  6854  negexsr  6855  caucvgsrlemoffval  6878  caucvgsrlemofff  6879  mulcnsr  6909  mulresr  6912  mulcnsrec  6917  axmulcl  6940  axmulrcl  6941  axmulcom  6943  axmulass  6945  axdistr  6946  axrnegex  6951
  Copyright terms: Public domain W3C validator