ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq GIF version

Theorem mulcmpblnq 6672
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5572 . 2 (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2 mulclpi 6632 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐹N) → (𝐴 ·N 𝐹) ∈ N)
3 mulclpi 6632 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
42, 3anim12i 331 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐹N) ∧ (𝐵N𝐺N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54an4s 553 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
6 mulclpi 6632 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝑅N) → (𝐶 ·N 𝑅) ∈ N)
7 mulclpi 6632 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
86, 7anim12i 331 . . . . . . 7 (((𝐶N𝑅N) ∧ (𝐷N𝑆N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
98an4s 553 . . . . . 6 (((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
105, 9anim12i 331 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) ∧ ((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
1110an4s 553 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
12 enqbreq 6660 . . . 4 ((((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
1311, 12syl 14 . . 3 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14 simplll 500 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐴N)
15 simprll 504 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐹N)
16 simplrr 503 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐷N)
17 mulcompig 6635 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
1817adantl 271 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
19 mulasspig 6636 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
2019adantl 271 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21 simprrr 507 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑆N)
22 mulclpi 6632 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2322adantl 271 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 5736 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25 simpllr 501 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐵N)
26 simprlr 505 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐺N)
27 simplrl 502 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐶N)
28 simprrl 506 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑅N)
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 5736 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3024, 29eqeq12d 2097 . . 3 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3113, 30bitrd 186 . 2 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
321, 31syl5ibr 154 1 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3419   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  Ncnpi 6576   ·N cmi 6578   ~Q ceq 6583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-ni 6608  df-mi 6610  df-enq 6651
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  6677
  Copyright terms: Public domain W3C validator