ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq GIF version

Theorem mulcmpblnq 6494
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5546 . 2 (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐹N) → (𝐴 ·N 𝐹) ∈ N)
3 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
42, 3anim12i 325 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐹N) ∧ (𝐵N𝐺N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54an4s 530 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
6 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐶N𝑅N) → (𝐶 ·N 𝑅) ∈ N)
7 mulclpi 6454 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
86, 7anim12i 325 . . . . . . 7 (((𝐶N𝑅N) ∧ (𝐷N𝑆N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
98an4s 530 . . . . . 6 (((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
105, 9anim12i 325 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐹N𝐺N)) ∧ ((𝐶N𝐷N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
1110an4s 530 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
12 enqbreq 6482 . . . 4 ((((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
1311, 12syl 14 . . 3 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14 simplll 493 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐴N)
15 simprll 497 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐹N)
16 simplrr 496 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐷N)
17 mulcompig 6457 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
1817adantl 266 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
19 mulasspig 6458 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
2019adantl 266 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21 simprrr 500 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑆N)
22 mulclpi 6454 . . . . . 6 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2322adantl 266 . . . . 5 (((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 5710 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25 simpllr 494 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐵N)
26 simprlr 498 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐺N)
27 simplrl 495 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝐶N)
28 simprrl 499 . . . . 5 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → 𝑅N)
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 5710 . . . 4 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3024, 29eqeq12d 2068 . . 3 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3113, 30bitrd 181 . 2 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
321, 31syl5ibr 149 1 ((((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) ∧ ((𝐹N𝐺N) ∧ (𝑅N𝑆N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  cop 3403   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Ncnpi 6398   ·N cmi 6400   ~Q ceq 6405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-ni 6430  df-mi 6432  df-enq 6473
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  6499
  Copyright terms: Public domain W3C validator