ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsrec GIF version

Theorem mulcnsrec 7125
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. The trick involves ecidg 6257, which shows that the coset of the converse epsilon relation (which is not an equivalence relation) leaves a set unchanged. See also dfcnqs 7123. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsrec (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E · [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩] E )

Proof of Theorem mulcnsrec
StepHypRef Expression
1 mulcnsr 7117 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
2 opelxpi 4422 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3 ecidg 6257 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
42, 3syl 14 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 4422 . . . 4 ((𝐶R𝐷R) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R))
6 ecidg 6257 . . . 4 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐶R𝐷R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
84, 7oveqan12d 5582 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E · [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩))
9 simpll 496 . . . . . 6 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → 𝐴R)
10 simprl 498 . . . . . 6 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → 𝐶R)
11 mulclsr 7045 . . . . . 6 ((𝐴R𝐶R) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
129, 10, 11syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
13 m1r 7043 . . . . . 6 -1RR
14 simplr 497 . . . . . . 7 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → 𝐵R)
15 simprr 499 . . . . . . 7 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → 𝐷R)
16 mulclsr 7045 . . . . . . 7 ((𝐵R𝐷R) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
1714, 15, 16syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
18 mulclsr 7045 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
1913, 17, 18sylancr 405 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
20 addclsr 7044 . . . . 5 (((𝐴 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
2112, 19, 20syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
22 mulclsr 7045 . . . . . 6 ((𝐵R𝐶R) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
2314, 10, 22syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
24 mulclsr 7045 . . . . . 6 ((𝐴R𝐷R) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
259, 15, 24syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
26 addclsr 7044 . . . . 5 (((𝐵 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
2723, 25, 26syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
28 opelxpi 4422 . . . 4 ((((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R ∧ ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
2921, 27, 28syl2anc 403 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
30 ecidg 6257 . . 3 (⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R) → [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩] E = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
3129, 30syl 14 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩] E = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
321, 8, 313eqtr4d 2125 1 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E · [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩] E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3419   E cep 4070   × cxp 4389  ccnv 4390  (class class class)co 5563  [cec 6191  Rcnr 6601  -1Rcm1r 6604   +R cplr 6605   ·R cmr 6606   · cmul 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-2o 6086  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-0nq0 6730  df-plq0 6731  df-mq0 6732  df-inp 6770  df-i1p 6771  df-iplp 6772  df-imp 6773  df-enr 7017  df-nr 7018  df-plr 7019  df-mr 7020  df-m1r 7024  df-c 7101  df-mul 7107
This theorem is referenced by:  axmulcom  7151  axmulass  7153  axdistr  7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator