ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnqg GIF version

Theorem mulcomnqg 7159
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7124 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 mulpipqqs 7149 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 7149 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑥), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4 mulcompig 7107 . . 3 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
54ad2ant2r 500 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
6 mulcompig 7107 . . 3 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
76ad2ant2l 499 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
81, 2, 3, 5, 7ecovicom 6505 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  (class class class)co 5742  Ncnpi 7048   ·N cmi 7050   ~Q ceq 7055  Qcnq 7056   ·Q cmq 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-mqqs 7126
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7167  recrecnq  7170  rec1nq  7171  lt2mulnq  7181  halfnqq  7186  prarloclemarch  7194  prarloclemarch2  7195  ltrnqg  7196  prarloclemlt  7269  addnqprllem  7303  addnqprulem  7304  addnqprl  7305  addnqpru  7306  appdivnq  7339  prmuloclemcalc  7341  mulnqprl  7344  mulnqpru  7345  mullocprlem  7346  mulclpr  7348  mulcomprg  7356  distrlem4prl  7360  distrlem4pru  7361  1idprl  7366  1idpru  7367  recexprlem1ssl  7409  recexprlem1ssu  7410  recexprlemss1l  7411  recexprlemss1u  7412
  Copyright terms: Public domain W3C validator