Theorem mulcompig 6372

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6350	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 6350	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 6029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐵 ·𝑜 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐵 ·𝑜 𝐴))
5		mulpiord 6358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
6		mulpiord 6358	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·𝑜 𝐴))
7	6	ancoms 255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·𝑜 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2082	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ωcom 4274  (class class class)co 5473   ·_𝑜 comu 5960  Ncnpi 6313   ·_N cmi 6315

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3868  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141  ax-setind 4230  ax-iinf 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-iun 3655  df-br 3761  df-opab 3815  df-mpt 3816  df-tr 3851  df-id 4026  df-iord 4074  df-on 4076  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-res 4318  df-ima 4319  df-iota 4828  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-fv 4871  df-ov 5476  df-oprab 5477  df-mpt2 5478  df-1st 5728  df-2nd 5729  df-recs 5881  df-irdg 5918  df-oadd 5966  df-omul 5967  df-ni 6345  df-mi 6347

This theorem is referenced by:  dfplpq2  6395  enqbreq2  6398  enqer  6399  addcmpblnq  6408  mulcmpblnq  6409  ordpipqqs  6415  addcomnqg  6422  addassnqg  6423  mulcomnqg  6424  mulcanenq  6426  distrnqg  6428  mulidnq  6430  recexnq  6431  nqtri3or  6437  ltsonq  6439  ltanqg  6441  ltmnqg  6442  ltexnqq  6449  archnqq  6458  prarloclemarch2  6460  ltnnnq  6464  prarloclemlt  6534