ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomsrg GIF version

Theorem mulcomsrg 6799
Description: Multiplication of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcomsrg ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))

Proof of Theorem mulcomsrg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6769 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 6788 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 6788 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑥P𝑦P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)), ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥))⟩] ~R )
4 mulcomprg 6635 . . . 4 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
54ad2ant2r 478 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑥))
6 mulcomprg 6635 . . . 4 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
76ad2ant2l 477 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑦))
85, 7oveq12d 5493 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) = ((𝑧 ·P 𝑥) +P (𝑤 ·P 𝑦)))
9 mulcomprg 6635 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
109ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑤) = (𝑤 ·P 𝑥))
11 mulcomprg 6635 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1211ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑧) = (𝑧 ·P 𝑦))
1310, 12oveq12d 5493 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)))
14 mulclpr 6627 . . . . . 6 ((𝑤P𝑥P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1514ancoms 255 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
1615ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑤 ·P 𝑥) ∈ P)
17 mulclpr 6627 . . . . . 6 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1817ancoms 255 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
1918ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P)
20 addcomprg 6633 . . . 4 (((𝑤 ·P 𝑥) ∈ P ∧ (𝑧 ·P 𝑦) ∈ P) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2116, 19, 20syl2anc 391 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑤 ·P 𝑥) +P (𝑧 ·P 𝑦)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
2213, 21eqtrd 2072 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) = ((𝑧 ·P 𝑦) +P (𝑤 ·P 𝑥)))
231, 2, 3, 8, 22ecovicom 6177 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5475  Pcnp 6346   +P cpp 6348   ·P cmp 6349   ~R cer 6351  Rcnr 6352   ·R cmr 6357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-iplp 6523  df-imp 6524  df-enr 6768  df-nr 6769  df-mr 6771
This theorem is referenced by:  mulresr  6871  axmulcom  6902  axmulass  6904  axcnre  6912
  Copyright terms: Public domain W3C validator