ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexp GIF version

Theorem mulexp 9268
Description: Positive integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑0))
2 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
3 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
42, 3oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
51, 4eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0))))
65imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))))
7 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘))
8 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
9 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
108, 9oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))
117, 10eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))))
1211imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))))
13 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1614, 15oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1713, 16eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁))
20 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
21 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
2220, 21oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
2319, 22eqeq12d 2054 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
2423imbi2d 219 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
25 mulcl 7006 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
26 exp0 9233 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
2725, 26syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
28 exp0 9233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29 exp0 9233 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3028, 29oveqan12d 5531 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = (1 · 1))
31 1t1e1 8065 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2088 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2075 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
34 expp1 9236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3525, 34sylan 267 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3635adantr 261 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
37 oveq1 5519 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)))
38 expcl 9247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
39 expcl 9247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39anim12i 321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
4140anandirs 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
42 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
43 mul4 7143 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
45 expp1 9236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
4645adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
47 expp1 9236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4847adantll 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4946, 48oveq12d 5530 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
5044, 49eqtr4d 2075 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2094 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5236, 51eqtrd 2072 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5352exp31 346 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5453com12 27 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5554a2d 23 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 8350 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
5756expdcom 1331 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
58573imp 1098 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5512  cc 6885  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   · cmul 6892  0cn0 8179  cexp 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-iseq 9186  df-iexp 9229
This theorem is referenced by:  mulexpzap  9269  expdivap  9279  expubnd  9285  sqmul  9290  mulexpd  9370
  Copyright terms: Public domain W3C validator