ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt0d GIF version

Theorem mulgt0d 7369
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mulgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 mulgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 mulgt0 7323 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1171 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  cr 7112  0cc0 7113   · cmul 7118   < clt 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1re 7202  ax-addrcl 7205  ax-mulrcl 7207  ax-rnegex 7217  ax-pre-mulgt0 7225
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-ltxr 7290
This theorem is referenced by:  ltmul1a  7828  mulge0  7856  recgt0  8065  prodgt0gt0  8066  prodge0  8069  modqmulnn  9494  modqdi  9544
  Copyright terms: Public domain W3C validator