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Theorem mulid1 7081
Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7080 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 recn 7071 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-icn 7036 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
4 recn 7071 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 mulcl 7065 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 399 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7 ax-1cn 7034 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 adddir 7075 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
97, 8mp3an3 1232 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
102, 6, 9syl2an 277 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11 ax-1rid 7048 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12 mulass 7069 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
133, 7, 12mp3an13 1234 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
144, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15 ax-1rid 7048 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
1615oveq2d 5555 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
1714, 16eqtrd 2088 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
1811, 17oveqan12d 5558 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1910, 18eqtrd 2088 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20 oveq1 5546 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21 id 19 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2220, 21eqeq12d 2070 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2319, 22syl5ibrcom 150 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
2423rexlimivv 2455 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
251, 24syl 14 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  1c1 6947  ici 6948   + caddc 6949   · cmul 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-mulcl 7039  ax-mulcom 7042  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-1rid 7048  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-iota 4894  df-fv 4937  df-ov 5542
This theorem is referenced by:  mulid2  7082  mulid1i  7086  mulid1d  7101  muleqadd  7722  divdivap1  7773  conjmulap  7779  nnmulcl  8010  expmul  9464  binom21  9529  bernneq  9536
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