Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulidnq GIF version

Theorem mulidnq 6545
 Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5547 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = (𝐴 ·Q 1Q))
3 id 19 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2070 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴))
5 df-1nqqs 6507 . . . . 5 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
65oveq2i 5551 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
7 1pi 6471 . . . . 5 1𝑜N
8 mulpipqqs 6529 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (1𝑜N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
97, 7, 8mpanr12 423 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
106, 9syl5eq 2100 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
11 mulcompig 6487 . . . . . . 7 ((1𝑜N𝑥N) → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
127, 11mpan 408 . . . . . 6 (𝑥N → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
1312adantr 265 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
14 mulcompig 6487 . . . . . . 7 ((1𝑜N𝑦N) → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
157, 14mpan 408 . . . . . 6 (𝑦N → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
1615adantl 266 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
1713, 16opeq12d 3585 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → ⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩ = ⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩)
1817eceq1d 6173 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
19 mulcanenqec 6542 . . . 4 ((1𝑜N𝑥N𝑦N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
207, 19mp3an1 1230 . . 3 ((𝑥N𝑦N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
2110, 18, 203eqtr2d 2094 . 2 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
221, 4, 21ecoptocl 6224 1 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ⟨cop 3406  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025  [cec 6135  Ncnpi 6428   ·N cmi 6430   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436  1Qc1q 6437   ·Q cmq 6439 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507 This theorem is referenced by:  recmulnqg  6547  rec1nq  6551  ltaddnq  6563  halfnqq  6566  prarloclemarch  6574  ltrnqg  6576  addnqprllem  6683  addnqprulem  6684  addnqprl  6685  addnqpru  6686  appdivnq  6719  prmuloc2  6723  mulnqprl  6724  mulnqpru  6725  1idprl  6746  1idpru  6747  recexprlem1ssl  6789  recexprlem1ssu  6790
 Copyright terms: Public domain W3C validator