ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mullt0 GIF version

Theorem mullt0 7549
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
mullt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 7335 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 265 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3 lt0neg1 7537 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
43biimpa 284 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
52, 4jca 294 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6 renegcl 7335 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 265 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8 lt0neg1 7537 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
98biimpa 284 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
107, 9jca 294 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11 mulgt0 7152 . . 3 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
125, 10, 11syl2an 277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
13 recn 7072 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 recn 7072 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 mul2neg 7467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1613, 14, 15syl2an 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1716ad2ant2r 486 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1812, 17breqtrd 3816 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947   · cmul 6952   < clt 7119  -cneg 7246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-ltxr 7124  df-sub 7247  df-neg 7248
This theorem is referenced by:  inelr  7649  apsqgt0  7666
  Copyright terms: Public domain W3C validator