Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr GIF version

Theorem mulresr 6972
 Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 6893 . . 3 0RR
2 mulcnsr 6969 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
32an4s 530 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 423 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5 00sr 6912 . . . . . . . 8 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 7 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 5551 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 6895 . . . . . . 7 -1RR
9 00sr 6912 . . . . . . 7 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2076 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 5551 . . . 4 ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13 mulclsr 6897 . . . . 5 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14 0idsr 6910 . . . . 5 ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1513, 14syl 14 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1612, 15syl5eq 2100 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17 mulcomsrg 6900 . . . . . . 7 ((0RR𝐵R) → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
181, 17mpan 408 . . . . . 6 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
19 00sr 6912 . . . . . 6 (𝐵R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
2018, 19eqtrd 2088 . . . . 5 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
21 00sr 6912 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
2220, 21oveqan12rd 5560 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
23 0idsr 6910 . . . . 5 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
241, 23ax-mp 7 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2522, 24syl6eq 2104 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
2616, 25opeq12d 3585 . 2 ((𝐴R𝐵R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
274, 26eqtrd 2088 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ⟨cop 3406  (class class class)co 5540  Rcnr 6453  0Rc0r 6454  -1Rcm1r 6456   +R cplr 6457   ·R cmr 6458   · cmul 6952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-0r 6874  df-m1r 6876  df-c 6953  df-mul 6959 This theorem is referenced by:  recidpirq  6992  axmulrcl  7001  ax1rid  7009  axprecex  7012  axpre-mulgt0  7019  axpre-mulext  7020
 Copyright terms: Public domain W3C validator