Theorem mulsubfacd 7659

Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulsubfacd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulsubfacd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulsubfacd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Proof of Theorem mulsubfacd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsubfacd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 7201	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		mulsubfacd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	subdird 7656	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
6	4	mulid2d 7269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7	6	oveq2d 5580	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵))
8	5, 7	eqtr2d 2116	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5564  ℂcc 7111  1c1 7114   · cmul 7118   − cmin 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sub 7418

This theorem is referenced by:  maxabslemlub  10312