ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcl GIF version

Theorem negcl 7167
Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
negcl (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl
StepHypRef Expression
1 df-neg 7141 . 2 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2 0cn 6976 . . 3 0 ∈ ℂ
3 subcl 7166 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 400 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4syl5eqel 2124 1 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1393  (class class class)co 5475  cc 6844  0cc0 6846  cmin 7138  -cneg 7139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-setind 4232  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-sub 7140  df-neg 7141
This theorem is referenced by:  negicn  7168  negcon1  7218  negdi  7223  negdi2  7224  negsubdi2  7225  neg2sub  7226  negcli  7234  negcld  7264  mulneg2  7348  mul2neg  7350  mulsub  7353  divnegap  7635  divsubdirap  7636  divsubdivap  7656  eqneg  7660  div2negap  7663  divneg2ap  7664  zeo  8291  sqneg  9167  binom2sub  9218  shftval4  9283  shftcan1  9289  shftcan2  9290  crim  9312  resub  9324  imsub  9332  cjneg  9344  cjsub  9346  absneg  9502  abs2dif2  9557  subcn2  9685
  Copyright terms: Public domain W3C validator