ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcon1 GIF version

Theorem negcon1 7325
Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
negcon1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem negcon1
StepHypRef Expression
1 negcl 7273 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 neg11 7324 . . . 4 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
31, 2sylan 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
4 negneg 7323 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
54adantr 265 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → --𝐴 = 𝐴)
65eqeq1d 2064 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵𝐴 = -𝐵))
73, 6bitr3d 183 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 eqcom 2058 . 2 (𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴)
97, 8syl6bb 189 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  cc 6944  -cneg 7245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-neg 7247
This theorem is referenced by:  negcon2  7326  negcon1i  7355  negcon1d  7378  elznn0  8316
  Copyright terms: Public domain W3C validator