ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negf1o GIF version

Theorem negf1o 7589
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 ssel 3003 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 7472 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
42, 3syl6 33 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
54imp 122 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
62imp 122 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 recn 7204 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negneg 7461 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
98eqcomd 2088 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
107, 9syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1110eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1211biimpcd 157 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1312adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
146, 13mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
15 negeq 7404 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
1615eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab 2758 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (-𝑥 ∈ ℝ ∧ --𝑥𝐴))
185, 14, 17sylanbrc 408 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
19 negeq 7404 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
2019eleq1d 2151 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2120elrab 2758 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
22 simpr 108 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2322a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2421, 23syl5bi 150 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2524imp 122 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
262, 7syl6com 35 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2827imp 122 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 recn 7204 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 negcon2 7464 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3332exp31 356 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3421, 33sylbi 119 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3534impcom 123 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3635impcom 123 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
371, 18, 25, 36f1ocnv2d 5756 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↦ -𝑦)))
3837simpld 110 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357  wss 2983  cmpt 3860  ccnv 4391  1-1-ontowf1o 4952  cc 7077  cr 7078  -cneg 7383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sub 7384  df-neg 7385
This theorem is referenced by:  negfi  10295
  Copyright terms: Public domain W3C validator