ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negiso GIF version

Theorem negiso 8136
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negiso (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2 simpr 108 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32renegcld 7587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4 simpr 108 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54renegcld 7587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 recn 7204 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 recn 7204 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 negcon2 7464 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
96, 7, 8syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
109adantl 271 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
111, 3, 5, 10f1ocnv2d 5756 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
1211trud 1294 . . . 4 (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
1312simpli 109 . . 3 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14 simpl 107 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1514recnd 7245 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1615negcld 7509 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℂ)
177adantl 271 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1817negcld 7509 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℂ)
19 brcnvg 4565 . . . . . 6 ((-𝑧 ∈ ℂ ∧ -𝑦 ∈ ℂ) → (-𝑧 < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
2016, 18, 19syl2anc 403 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧 < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
211a1i 9 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥))
22 negeq 7404 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
2322adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -𝑥 = -𝑧)
2421, 23, 14, 16fvmptd 5306 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) = -𝑧)
25 negeq 7404 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
2625adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → -𝑥 = -𝑦)
27 simpr 108 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2821, 26, 27, 18fvmptd 5306 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = -𝑦)
2924, 28breq12d 3819 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑧 < -𝑦))
30 ltneg 7669 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
3120, 29, 303bitr4rd 219 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
3231rgen2a 2422 . . 3 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
33 df-isom 4962 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
3413, 32, 33mpbir2an 884 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ)
35 negeq 7404 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
3635cbvmptv 3894 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
3712simpri 111 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
3836, 37, 13eqtr4i 2113 . 2 𝐹 = 𝐹
3934, 38pm3.2i 266 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wtru 1286  wcel 1434  wral 2353   class class class wbr 3806  cmpt 3860  ccnv 4391  1-1-ontowf1o 4952  cfv 4953   Isom wiso 4954  cc 7077  cr 7078   < clt 7251  -cneg 7383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-isom 4962  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-ltxr 7256  df-sub 7384  df-neg 7385
This theorem is referenced by:  infrenegsupex  8799
  Copyright terms: Public domain W3C validator