ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nford GIF version

Theorem nford 1473
Description: If in a context 𝑥 is not free in 𝜓 and 𝜒, it is not free in (𝜓𝜒). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nford.1 (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
nford.2 (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
Assertion
Ref Expression
nford (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓𝜒))

Proof of Theorem nford
StepHypRef Expression
1 nford.1 . . . . 5 (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
2 nford.2 . . . . 5 (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
3 df-nf 1364 . . . . . . 7 (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
4 df-nf 1364 . . . . . . 7 (Ⅎ𝑥𝜒 ↔ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒))
53, 4anbi12i 441 . . . . . 6 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
65biimpi 117 . . . . 5 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
71, 2, 6syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
8 19.26 1384 . . . 4 (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
97, 8sylibr 141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
10 orc 641 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝜓𝜒))
1110alimi 1358 . . . . . 6 (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜓𝜒))
1211imim2i 12 . . . . 5 ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
13 olc 640 . . . . . . 7 (𝜒 → (𝜓𝜒))
1413alimi 1358 . . . . . 6 (∀𝑥𝜒 → ∀𝑥(𝜓𝜒))
1514imim2i 12 . . . . 5 ((𝜒 → ∀𝑥𝜒) → (𝜒 → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
1612, 15jaao 647 . . . 4 (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓𝜒) → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
1716alimi 1358 . . 3 (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ∀𝑥((𝜓𝜒) → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
189, 17syl 14 . 2 (𝜑 → ∀𝑥((𝜓𝜒) → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
19 df-nf 1364 . 2 (Ⅎ𝑥(𝜓𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓𝜒) → ∀𝑥(𝜓𝜒)))
2018, 19sylibr 141 1 (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓𝜒))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 637  wal 1255  wnf 1363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-gen 1352
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1364
This theorem is referenced by:  nfifd  3380
  Copyright terms: Public domain W3C validator