ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nlt1pig GIF version

Theorem nlt1pig 6382
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pig (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)

Proof of Theorem nlt1pig
StepHypRef Expression
1 elni 6349 . . 3 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 260 . 2 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 3225 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 6356 . . . . . . . . 9 1𝑜N
5 ltpiord 6360 . . . . . . . . 9 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
64, 5mpan2 401 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
7 df-1o 5962 . . . . . . . . . 10 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2104 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 1𝑜𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 4112 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 181 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 177 . . . . . . 7 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 280 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 643 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 15 . . . 4 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
1514ex 108 . . 3 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2244 . 2 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
172, 16mpd 13 1 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629   = wceq 1243  wcel 1393  wne 2204  c0 3221   class class class wbr 3760  suc csuc 4073  ωcom 4274  1𝑜c1o 5955  Ncnpi 6313   <N clti 6316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-br 3761  df-opab 3815  df-eprel 4022  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-1o 5962  df-ni 6345  df-lti 6348
This theorem is referenced by:  caucvgsr  6829
  Copyright terms: Public domain W3C validator