Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn01to3 GIF version

Theorem nn01to3 8648
 Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 simp2 916 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 1 ≤ 𝑁)
2 simp1 915 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 1z 8327 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
4 nn0z 8321 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 zleloe 8348 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
63, 4, 5sylancr 399 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
72, 6syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
81, 7mpbid 139 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁))
9 1nn0 8254 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
10 nn0ltp1le 8363 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
119, 10mpan 408 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
12 df-2 8048 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
1312breq1i 3798 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
1411, 13syl6bbr 191 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
15 2z 8329 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 zleloe 8348 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
1715, 4, 16sylancr 399 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
1814, 17bitrd 181 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
1918orbi1d 715 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) ↔ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) ∨ 1 = 𝑁)))
202, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) ↔ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) ∨ 1 = 𝑁)))
218, 20mpbid 139 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) ∨ 1 = 𝑁))
2221orcomd 658 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 ∨ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
23 orcom 657 . . . . 5 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) ↔ (2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁))
2423orbi2i 689 . . . 4 ((1 = 𝑁 ∨ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)) ↔ (1 = 𝑁 ∨ (2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁)))
2522, 24sylib 131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 ∨ (2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁)))
26 3orass 899 . . 3 ((1 = 𝑁 ∨ 2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁) ↔ (1 = 𝑁 ∨ (2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁)))
2725, 26sylibr 141 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 ∨ 2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁))
28 3mix1 1084 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
2928eqcoms 2059 . . . 4 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
3029a1i 9 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
31 3mix2 1085 . . . . 5 (𝑁 = 2 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
3231eqcoms 2059 . . . 4 (2 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
3332a1i 9 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (2 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
34 simp3 917 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
3534biantrurd 293 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
36 2nn0 8255 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
37 nn0ltp1le 8363 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3836, 37mpan 408 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
39 df-3 8049 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
4039breq1i 3798 . . . . . . 7 (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
4138, 40syl6bbr 191 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 ↔ 3 ≤ 𝑁))
422, 41syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁 ↔ 3 ≤ 𝑁))
432nn0red 8292 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
44 3re 8063 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
45 letri3 7157 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (𝑁 = 3 ↔ (𝑁 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
4643, 44, 45sylancl 398 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 3 ↔ (𝑁 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
4735, 42, 463bitr4d 213 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁𝑁 = 3))
48 3mix3 1086 . . . 4 (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
4947, 48syl6bi 156 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
5030, 33, 493jaod 1210 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → ((1 = 𝑁 ∨ 2 = 𝑁 ∨ 2 < 𝑁) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
5127, 50mpd 13 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 639   ∨ w3o 895   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  ℝcr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118   ≤ cle 7119  2c2 8039  3c3 8040  ℕ0cn0 8238  ℤcz 8301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-n0 8239  df-z 8302 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator