Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0abscl GIF version

Theorem nn0abscl 10190
 Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0abscl (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl
StepHypRef Expression
1 zre 8506 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 absnid 10178 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
31, 2sylan 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
4 simpl 107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
54znegcld 8622 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℤ)
6 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
71adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
87le0neg1d 7755 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
96, 8mpbid 145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
10 elnn0z 8515 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝐴))
115, 9, 10sylanbrc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
123, 11eqeltrd 2159 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13 absid 10176 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
141, 13sylan 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
15 elnn0z 8515 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
1615biimpri 131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1714, 16eqeltrd 2159 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
18 0z 8513 . . 3 0 ∈ ℤ
19 zletric 8546 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
2018, 19mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐴))
2112, 17, 20mpjaodan 745 1 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 662   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805  ‘cfv 4952  ℝcr 7112  0cc0 7113   ≤ cle 7286  -cneg 7417  ℕ0cn0 8425  ℤcz 8502  abscabs 10102 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104 This theorem is referenced by:  zabscl  10191  absmulgcd  10631  lcmgcd  10685  lcmgcdeq  10690  mulgcddvds  10701  sqnprm  10742  zgcdsq  10804
 Copyright terms: Public domain W3C validator