ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0disj GIF version

Theorem nn0disj 9883
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3229 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 273 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 9306 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 9299 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 eluzelz 9303 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 9078 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 408 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 146 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 272 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 elfzle2 9776 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 9141 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 elfzel2 9772 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17sylbi 120 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918zred 9141 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2015, 19lenltd 7848 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 9142 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 pncan1 8107 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2123 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 641 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 187 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 146 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 594 . . 3 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
3029ssriv 3071 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 3373 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  cin 3040  wss 3041  c0 3333   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator