ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ehalf GIF version

Theorem nn0ehalf 10436
Description: The half of an even nonnegative integer is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 22-Jun-2020.) (Revised by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ehalf ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0ehalf
StepHypRef Expression
1 nn0z 8441 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 evend2 10422 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
4 nn0ge0 8369 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5 nn0re 8353 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 2re 8165 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
76a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
8 2pos 8186 . . . . . . . . . 10 0 < 2
98a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
10 ge0div 8005 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1170 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
124, 11mpbid 145 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
1312anim1i 333 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 / 2) ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
1413ancomd 263 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
15 elnn0z 8434 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
1614, 15sylibr 132 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
1716ex 113 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
183, 17sylbid 148 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
1918imp 122 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  cr 7031  0cc0 7032   < clt 7204  cle 7205   / cdiv 7816  2c2 8145  0cn0 8344  cz 8421  cdvds 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-dvds 10330
This theorem is referenced by:  nnehalf  10437
  Copyright terms: Public domain W3C validator