Theorem nn0ex 8983

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8978	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8726	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 7760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4109	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4362	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2212	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  {csn 3527  0cc0 7620  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-i2m1 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10206  nnenom  10207  uzennn  10209  expcnvap0  11271  expcnvre  11272  expcnv  11273  geolim  11280  mertenslem2  11305  eftlub  11396  znnen  11911