ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 GIF version

Theorem nn0ge0 8970
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 8947 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnre 8695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 nngt0 8713 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4 0re 7734 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 ltle 7819 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
64, 5mpan 420 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
72, 3, 6sylc 62 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
8 0le0 8777 . . . 4 0 ≤ 0
9 breq2 3903 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ 0))
108, 9mpbiri 167 . . 3 (𝑁 = 0 → 0 ≤ 𝑁)
117, 10jaoi 690 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
121, 11sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  cn 8688  0cn0 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-inn 8689  df-n0 8946
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8971  nn0ge0i  8972  nn0le0eq0  8973  nn0p1gt0  8974  0mnnnnn0  8977  nn0addge1  8991  nn0addge2  8992  nn0ge0d  9001  elnn0z  9035  nn0lt10b  9099  nn0ge0div  9106  nn0pnfge0  9545  xnn0xadd0  9618  0elfz  9866  fz0fzelfz0  9872  fz0fzdiffz0  9875  fzctr  9878  difelfzle  9879  elfzodifsumelfzo  9946  fvinim0ffz  9986  subfzo0  9987  adddivflid  10033  modqmuladdnn0  10109  modfzo0difsn  10136  uzennn  10177  bernneq  10380  bernneq3  10382  faclbnd  10455  faclbnd6  10458  facubnd  10459  bcval5  10477  fihashneq0  10509  dvdseq  11473  evennn02n  11506  nn0ehalf  11527  nn0oddm1d2  11533  gcdn0gt0  11593  nn0gcdid0  11596  absmulgcd  11632  algcvgblem  11657  algcvga  11659  lcmgcdnn  11690  hashgcdlem  11830  znnen  11838
  Copyright terms: Public domain W3C validator