ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b GIF version

Theorem nn0n0n1ge2b 8348
Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 8339 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
213expib 1116 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3 nn0z 8292 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 0z 8283 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
5 zdceq 8344 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
63, 4, 5sylancl 398 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 0)
76dcned 2224 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 ≠ 0)
8 1z 8298 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 zdceq 8344 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
103, 8, 9sylancl 398 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 1)
1110dcned 2224 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 ≠ 1)
12 dcan 851 . . . 4 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
137, 11, 12sylc 60 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
14 ianordc 808 . . . . . 6 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
157, 14syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16 nnedc 2223 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
176, 16syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18 nnedc 2223 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
2017, 19orbi12d 715 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2115, 20bitrd 181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
22 2pos 8051 . . . . . . . . . 10 0 < 2
23 breq1 3792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
2422, 23mpbiri 161 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
2524a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
26 1lt2 8122 . . . . . . . . . 10 1 < 2
27 breq1 3792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
2826, 27mpbiri 161 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
2928a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
3025, 29jaoi 644 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
3130impcom 120 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32 2z 8300 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
33 zltnle 8318 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
343, 32, 33sylancl 398 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3534adantr 265 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3631, 35mpbid 139 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
3736ex 112 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
3821, 37sylbid 143 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39 condc 758 . . 3 (DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))))
4013, 38, 39sylc 60 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
412, 40impbid 124 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637  DECID wdc 751   = wceq 1257  wcel 1407  wne 2218   class class class wbr 3789  0cc0 6917  1c1 6918   < clt 7089  cle 7090  2c2 8010  0cn0 8209  cz 8272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-2 8019  df-n0 8210  df-z 8273
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator