ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0nnaddcl GIF version

Theorem nn0nnaddcl 8269
Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0nnaddcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0nnaddcl
StepHypRef Expression
1 nncn 7997 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 nn0cn 8248 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
3 addcom 7210 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
41, 2, 3syl2an 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
5 nnnn0addcl 8268 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
64, 5eqeltrrd 2131 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
76ancoms 259 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  cc 6944   + caddc 6949  cn 7989  0cn0 8238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-iota 4894  df-fv 4937  df-ov 5542  df-inn 7990  df-n0 8239
This theorem is referenced by:  nn0p1nn  8277  nnaddm1cl  8362  numnncl  8435  modfzo0difsn  9339
  Copyright terms: Public domain W3C validator