ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2d GIF version

Theorem nn0opthlem2d 9589
Description: Lemma for nn0opth2 9592. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem nn0opthlem2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2nn0addcld 8296 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
43nn0red 8293 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54, 4remulcld 7115 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
62nn0red 8293 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 7114 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
87adantr 265 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ)
9 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
109nn0red 8293 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110, 10remulcld 7115 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
1211adantr 265 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ)
13 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1413nn0red 8293 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 7114 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantr 265 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
17 2re 8060 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
1918, 4remulcld 7115 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
205, 19readdcld 7114 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
2120adantr 265 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
22 nn0addge2 8286 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
236, 1, 22syl2anc 397 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
24 nn0addge1 8285 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
254, 3, 24syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
264recnd 7113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
27262timesd 8224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
2825, 27breqtrrd 3818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
296, 4, 19, 23, 28letrd 7199 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
306, 19, 5, 29leadd2dd 7625 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
3130adantr 265 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
323, 9nn0opthlem1d 9588 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)))
3332biimpa 284 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
348, 21, 12, 31, 33lelttrd 7200 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
35 nn0addge1 8285 . . . . . 6 (((𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3611, 13, 35syl2anc 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
3736adantr 265 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
388, 12, 16, 34, 37ltletrd 7492 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
398, 38gtned 7189 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
4039ex 112 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cr 6946   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119  cle 7120  2c2 8040  0cn0 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-iexp 9420
This theorem is referenced by:  nn0opthd  9590
  Copyright terms: Public domain W3C validator