ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0split GIF version

Theorem nn0split 9881
Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 9883) union of the first 𝑁 + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0split (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nn0split
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9328 . . 3 0 = (ℤ‘0)
21a1i 9 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = (ℤ‘0))
3 peano2nn0 8985 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43, 1eleqtrdi 2210 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
5 uzsplit 9840 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
64, 5syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7 nn0cn 8955 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8 pncan1 8107 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
97, 8syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
109oveq2d 5758 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
1110uneq1d 3199 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
122, 6, 113eqtrd 2154 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465  cun 3039  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591  cmin 7901  0cn0 8945  cuz 9294  ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator