ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0split GIF version

Theorem nn0split 9276
Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 9277) union of the first 𝑁 + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0split (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nn0split
StepHypRef Expression
1 nn0uz 8786 . . 3 0 = (ℤ‘0)
21a1i 9 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = (ℤ‘0))
3 peano2nn0 8447 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43, 1syl6eleq 2175 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
5 uzsplit 9237 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
64, 5syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7 nn0cn 8417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8 pncan1 7600 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
97, 8syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
109oveq2d 5579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
1110uneq1d 3135 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
122, 6, 113eqtrd 2119 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  cun 2980  cfv 4952  (class class class)co 5563  cc 7093  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098  cmin 7398  0cn0 8407  cuz 8752  ...cfz 9157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator