Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0supp GIF version

Theorem nn0supp 8459
 Description: Two ways to write the support of a function on ℕ0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0supp (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp
StepHypRef Expression
1 dfn2 8420 . . . 4 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2 invdif 3222 . . . 4 (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
31, 2eqtr4i 2106 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
43imaeq2i 4716 . 2 (𝐹 “ ℕ) = (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5 ffun 5099 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6 inpreima 5345 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8 cnvimass 4738 . . . . 5 (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9 fdm 5101 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10 fimacnv 5348 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
119, 10eqtr4d 2118 . . . . 5 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (𝐹 “ ℕ0))
128, 11syl5sseq 3056 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0))
13 sseqin2 3201 . . . 4 ((𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0) ↔ ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
1412, 13sylib 120 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
157, 14eqtrd 2115 . 2 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
164, 15syl5req 2128 1 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285  Vcvv 2610   ∖ cdif 2979   ∩ cin 2981   ⊆ wss 2982  {csn 3416  ◡ccnv 4390  dom cdm 4391   “ cima 4394  Fun wfun 4946  ⟶wf 4948  0cc0 7095  ℕcn 8158  ℕ0cn0 8407 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1re 7184  ax-addrcl 7187  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-ov 5566  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-inn 8159  df-n0 8408 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator