ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1gt1 GIF version

Theorem nn1gt1 7993
Description: A positive integer is either one or greater than one. This is for ; 0elnn 4365 is a similar theorem for ω (the natural numbers as ordinals). (Contributed by Jim Kingdon, 7-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn1gt1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))

Proof of Theorem nn1gt1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2060 . . 3 (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ↔ 1 = 1))
2 breq2 3793 . . 3 (𝑥 = 1 → (1 < 𝑥 ↔ 1 < 1))
31, 2orbi12d 715 . 2 (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ 1 < 𝑥) ↔ (1 = 1 ∨ 1 < 1)))
4 eqeq1 2060 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5 breq2 3793 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (1 < 𝑥 ↔ 1 < 𝑦))
64, 5orbi12d 715 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ 1 < 𝑥) ↔ (𝑦 = 1 ∨ 1 < 𝑦)))
7 eqeq1 2060 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
8 breq2 3793 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑦 + 1)))
97, 8orbi12d 715 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ 1 < 𝑥) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ 1 < (𝑦 + 1))))
10 eqeq1 2060 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
11 breq2 3793 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (1 < 𝑥 ↔ 1 < 𝐴))
1210, 11orbi12d 715 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ 1 < 𝑥) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴)))
13 eqid 2054 . . 3 1 = 1
1413orci 658 . 2 (1 = 1 ∨ 1 < 1)
15 nngt0 7985 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
16 nnre 7967 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
17 1re 7054 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
18 ltaddpos2 7492 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑦 ↔ 1 < (𝑦 + 1)))
1916, 17, 18sylancl 398 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 𝑦 ↔ 1 < (𝑦 + 1)))
2015, 19mpbid 139 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
2120olcd 661 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ 1 < (𝑦 + 1)))
2221a1d 22 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ 1 < 𝑦) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ 1 < (𝑦 + 1))))
233, 6, 9, 12, 14, 22nnind 7976 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102  wo 637   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cr 6916  0cc0 6917  1c1 6918   + caddc 6920   < clt 7089  cn 7960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-inn 7961
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  7994  resqrexlemglsq  9812
  Copyright terms: Public domain W3C validator