ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn2ge GIF version

Theorem nn2ge 8721
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnaddcl 8708 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
2 0red 7735 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
3 nnre 8695 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 nngt0 8713 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
65adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
72, 4, 6ltled 7849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
8 nnre 8695 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
109, 4addge01d 8263 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
117, 10mpbid 146 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12 nngt0 8713 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
1312adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
142, 9, 13ltled 7849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
154, 9addge02d 8264 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
1614, 15mpbid 146 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
17 breq2 3903 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
18 breq2 3903 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝐵𝑥𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
1917, 18anbi12d 464 . . 3 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))))
2019rspcev 2763 . 2 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
211, 11, 16, 20syl12anc 1199 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  cn 8688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-inn 8689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator