Theorem nnacan 6172

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 6171	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶)))
2	1	3comr 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶)))
3		nnaword 6171	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
4	3	3com13 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
5	2, 4	anbi12d 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))))
6	5	bicomd 139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
7		eqss 3023	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8		eqss 3023	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	3bitr4g 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ⊆ wss 2982  ωcom 4359  (class class class)co 5563   +_𝑜 coa 6082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089

This theorem is referenced by:  addcanpig  6638