ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaddm1cl GIF version

Theorem nnaddm1cl 8493
Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaddm1cl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1cl
StepHypRef Expression
1 nncn 8114 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 nncn 8114 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 7131 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 addsub 7386 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
53, 4mp3an3 1258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
61, 2, 5syl2an 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
7 nnm1nn0 8396 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
8 nn0nnaddcl 8386 . . 3 (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
97, 8sylan 277 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
106, 9eqeltrd 2156 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5543  cc 7041  1c1 7044   + caddc 7046  cmin 7346  cn 8106  0cn0 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-inn 8107  df-n0 8356
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator