Theorem nnaddm1cl 9115

Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8728	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nncn 8728	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 7713	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addsub 7973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
5	3, 4	mp3an3 1304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
7		nnm1nn0 9018	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0nnaddcl 9008	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
9	7, 8	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
10	6, 9	eqeltrd 2216	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by: (None)