ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnap0d GIF version

Theorem nnap0d 8734
Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnap0d (𝜑𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnap0 8717 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
31, 2syl 14 1 (𝜑𝐴 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465   class class class wbr 3899  0cc0 7588   # cap 8311  cn 8688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-inn 8689
This theorem is referenced by:  qtri3or  9988  qbtwnrelemcalc  10001  intfracq  10061  flqdiv  10062  modqmulnn  10083  facndiv  10453  bcn0  10469  bcn1  10472  bcm1k  10474  bcp1n  10475  bcp1nk  10476  bcval5  10477  bcpasc  10480  permnn  10485  divcnv  11234  trireciplem  11237  trirecip  11238  expcnvap0  11239  geo2sum  11251  geo2lim  11253  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  mertenslemi1  11272  eftabs  11289  efcllemp  11291  ege2le3  11304  efcj  11306  efaddlem  11307  eftlub  11323  eirraplem  11410  dvdsflip  11476  dvdsgcdidd  11609  mulgcd  11631  gcddiv  11634  sqgcd  11644  lcmgcdlem  11685  qredeu  11705  prmind2  11728  divgcdodd  11748  sqrt2irrlem  11766  oddpwdclemxy  11774  oddpwdclemodd  11777  oddpwdclemdc  11778  sqrt2irraplemnn  11784  sqrt2irrap  11785  qmuldeneqnum  11800  divnumden  11801  numdensq  11807  hashdvds  11824  phiprmpw  11825  cvgcmp2nlemabs  13154
  Copyright terms: Public domain W3C validator