Theorem nndceq 6395

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where 𝐵 is zero, see nndceq0 4531. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		elirr 4456	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		eleq2 2203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	2, 3	mtbii 663	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	con2i 616	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	olcd 723	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		orc 701	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
8		elirr 4456	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
9		eleq2 2203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
10	8, 9	mtbiri 664	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10	con2i 616	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	olcd 723	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	6, 7, 12	3jaoi 1281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14	1, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
15		df-dc 820	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ωcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6403  fidceq  6763  unsnfidcex  6808  unsnfidcel  6809  enqdc  7169  nninfsellemdc  13206